1 Følger og rekker

Mål for opplæringen er at eleven skal kunne

utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker
utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis

Utforsk figurtall

Steg 1

Når vi kvadrerer et naturlig tall, får vi et kvadrattall. De seks minste kvadrattallene er 1, 4, 9, 16, 25 og 36. Kvadrattall nr. n kaller vi $K_{n} .$ Det er gitt ved formelen

$K_{n} = n^{2}$

En slik formel som gir tall nr. n direkte, kaller vi en eksplisitt formel. Kvadrattallene kan vi også framstille ved hjelp av kuler på denne måten:

Vi ser for eksempel at kvadrattall nr. 4 danner et kvadrat med $4$ i hver retning. Tall vi får ved å sette sammen figurer etter et system, kaller vi figurtall. Kvadrattallene ovenfor er dermed et eksempel på figurtall.

Bruk den eksplisitte formelen for $K_{n}$ til å finne $K_{5}, K_{6} og K_{10} .$
Forklar at $K_{3} = K_{2} + 2 \cdot 2 + 1$ og at $K_{4} = K_{3} + 2 \cdot 3 + 1.$
Forklar at $K_{n} = K_{n - 1} + 2 \cdot n + 1$ når $n \geq 1.$

Formelen i oppgave c kaller vi en rekursiv formel for kvadrattallene. Når vi kjenner et kvadrattall, kan vi bruke det til å finne det neste. Når vi skal bruke en slik rekursiv formel, må vi kjenne ett av tallene. Her vet vi at $K_{1} = 1.$

Bruk den rekursive formelen i oppgave c til å finne $K_{5}, K_{6} og K_{10} .$

Steg 2

Nå skal vi se på noen figurtall som vi kan kalle rektangeltall. Her er de minste rektangeltallene:

Finn rektangeltallene $R_{4}$ og $R_{8} .$
Finn en eksplisitt formel for rektangeltallet $R_{n} .$
Tallet 870 er et rektangeltall. Hvilket nummer har det?
Finn en rekursiv formel for $R_{n}$ uttrykt med $R_{n - 1}$ for $n > 1.$
Bruk den rekursive formelen til å finne $R_{4}$ og $R_{8} .$

Steg 3

Nå skal vi se på tall som vi kaller trekanttall. Her er de minste trekanttallene:

Finn trekanttallene $T_{5}$ og $T_{6} .$
Finn en rekursiv formel for trekanttallet $T_{n}$ uttrykt med $T_{n - 1}$ for $n > 1.$
Sammenlikn figurtallene i steg 2 og steg 3, og bruk formelen du fant i steg 2b, til å vise at trekanttall nr. n er gitt ved formelen

$T_{n} = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$
Finn nummeret til trekanttallet 820.
Se på summen av to trekanttall som følger etter hverandre.
Hvilken regel ser ut til å gjelde?
Vis at regelen din er riktig både ut fra kulene og ved regning.

1.1 Tallfølger

Vi tar utgangspunkt i tallet 2 og dobler det. Deretter dobler vi svaret. Slik holder vi på og får disse tallene:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, …

Dette er et eksempel på en tallfølge eller en følge. Forskjellen på en tallfølge og en tallmengde er at i en tallfølge har rekkefølgen av tallene betydning. Tallene er nummererte i rekkefølgen de står i. I en tallmengde er rekkefølgen uten betydning.

Tallene i en tallfølge kaller vi ledd. Ofte kaller vi det første leddet $a_{1}$ , det andre leddet $a_{2}$ , osv. I tallfølgen ovenfor er

$a_{1} = 2, a_{2} = 4, a_{3} = 8, a_{4} = 16, . . .$

Denne tallfølgen er bestemt ved at $a_{1} = 2$ og at $a_{n} = 2 \cdot a_{n - 1}$ når $n > 1.$ Dette er en rekursiv formel for leddene i følgen. I en rekursiv formel er leddene bestemt av ett eller flere av leddene foran. Noen ganger kan i tillegg rekkenummeret inngå.

Vi legger merke til at i følgen ovenfor er $a_{1} = 2, a_{2} = 2^{2}, a_{3} = 2^{3}, a_{4} = 2^{4}$ osv. Ledd nr. n er gitt ved

$a_{n} = 2^{n}$

Dette er en eksplisitt formel for ledd nr. n. Med den kan vi finne ledd nr. 10 direkte: $a_{10} = 2^{10} = 1024.$ Når vi i denne boka skriver ‘en formel for ledd nr. n’, mener vi alltid en eksplisitt formel.

Diskuter

Vil dere bruke den rekursive eller den eksplisitte formelen for å skal finne $a_{100}$ i følgen ovenfor?

Eksempel

I en tallfølge er det første leddet $a_{1} = 2.$ For alle naturlige tall $n > 1$ er leddene gitt ved den rekursive formelen

$a_{n} = 3 \cdot a_{n - 1}$

Finn de fem første leddene i tallfølgen.
Finn en eksplisitt formel for ledd nr. n.
Finn ledd nr. 15.

Løsning

Vi vet at det første leddet er $a_{1} = 2.$ I formelen $a_{n} = 3 \cdot a_{n - 1}$ velger vi $n = 2$ for å finne det andre leddet. Det gir

$a_{2}$ $= 3 \cdot a_{2 - 1}$ $= 3 \cdot a_{1}$ $= 3 \cdot 2$ $= 6$

For å finne det tredje leddet setter vi $n = 3$

$a_{3}$ $= 3 \cdot a_{3 - 1}$ $= 3 \cdot a_{2}$ $= 3 \cdot 6$ $= 18$

Det fjerde og det femte leddet finner vi slik:

$a_{4}$ $= 3 \cdot a_{4 - 1}$ $= 3 \cdot a_{3}$ $= 3 \cdot 18$ $= 54$

$a_{5}$ $= 3 \cdot a_{5 - 1}$ $= 3 \cdot a_{4}$ $= 3 \cdot 54$ $= 162$

De fem første leddene i tallfølgen er 2, 6, 18, 54 og 162.
Et ledd er lik det foregående leddet multiplisert med 3.

$a_{1} = 2$

$a_{2} = 3 \cdot 2 = 6$

$a_{3} = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$

$a_{4} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 = 54$

For å komme til ledd nr. n må vi multiplisere $a_{1}$ med 3 i alt $n - 1$ ganger. Formelen for ledd nr. n er dermed

$a_{n} = 3^{n - 1} \cdot a_{1}$ $= 3^{n - 1} \cdot 2 = 2 \cdot 3^{n - 1} - ------- - - ------- -$
Side 10
Ledd nr. 15 er

$a_{15} = 2 \cdot 3^{15 - 1}$ $= 2 \cdot 3^{14} = 9565938 - -------- - - -------- -$

Oppgave 1.10

I en følge er ledd nr. n gitt ved

$a_{n} = 5 n - 2$

Finn de fem første leddene og ledd nr. 120.
Finn en rekursiv formel for følgen.

Oppgave 1.11

I en tallfølge er det første leddet $a_{1} = 3.$ Når $n > 1$ , har vi den rekursive formelen

$a_{n} = a_{n - 1} + 4$

Finn de fem første leddene i følgen.
Finn en eksplisitt formel for ledd nr. n.

Oppgave 1.12

I en tallfølge er det første leddet $a_{1} = 16.$ Når $n > 1$ , er

$a_{n} = \frac{1}{2}$

Finn de fem første leddene i følgen.
Finn en eksplisitt formel for ledd nr. n.

Oppgave 1.13

Her skal dere se på de berømte fibonaccitallene. De er oppkalt etter den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci. Han levde fra ca. 1170 til ca. 1250. Tallene er følgen som er bestemt ved at $a_{1} = 1$ og $a_{2} = 1.$ Når $n > 2,$ er

$a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}$

Finn de 10 minste fibonaccitallene.

Nå skal vi lage et program i Python som skriver ut ledd i en følge. Programmet nedenfor skriver ut de første leddene i følgen med den eksplisitte formelen $a_{n} = 2^{n} .$

Vi kjører programmet

Antall ledd? 5
Ledd nr. 1: 2
Ledd nr. 2: 4
Ledd nr. 3: 8
Ledd nr. 4: 16
Ledd nr. 5: 32

Programmet nedenfor skriver ut de første leddene i følgen i forrige eksemplet som er gitt ved $a_{n} = 3 \cdot a_{n - 1} .$ Den var gitt ved den rekursive formelen $a_{1} = 2$ og $a_{n} = 3 \cdot a_{n - 1}$ når $n > 1.$

Programmet gir denne utskriften:

Antall ledd? 5 
Ledd nr. 1: 2 
Ledd nr. 2: 6 
Ledd nr. 3: 18 
Ledd nr. 4: 54 
Ledd nr. 5: 162

Oppgave 1.14

Lag et program som skriver ut de 10 første leddene i oppgave 1.10.

Oppgave 1.15

Lag et program som skriver ut de 10 første leddene i oppgave 1.11.
Tilpass programmet slik at det skriver ut de 15 første leddene i oppgave 1.12.

Oppgave 1.16

Lag et program som skriver ut de 20 minste fibonaccitallene. Se oppgave 1.13.
Utvid programmet slik at det også skriver ut forholdet $\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}$ mellom fibonaccitallene for n mellom 2 og 50.
Det gylne snittet er gitt ved tallet $φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Sammenlikn forholdene i oppgave b med det gylne snittet. Hva ser du?

Diskuter

Bruk internett og finn ut hva det gylne snittet blir brukt til i kunst.

Følgen

$1, \frac{1}{2}$

har uendelig mange ledd, og den er da et eksempel på en uendelig følge. Ledd nr. n er gitt ved

$a_{n} = \frac{1}{n}$

Når $n \to \infty$ , vil $a_{n} \to 0.$ Vi skriver

$lim n \to \infty$

Vi sier at følgen konvergerer og har $grenseverdien$ En følge konvergerer når leddet $a_{n}$ nærmer seg et bestemt tall a når $n \to \infty .$ Følgen har da $grenseverdien$

Hvis følgen ikke nærmer seg et bestemt tall, sier vi at følgen divergerer.

Løsning

Vi ganger med $\frac{1}{n}$ i telleren og i nevneren og utnytter at $\frac{1}{n}$ og $\frac{3}{n}$ nærmer seg 0, når $n \to \infty .$

$\begin{matrix} lim n \to \infty a_{n} = lim n \to \infty \frac{2 n + 3}{n + 1} = lim n \to \infty \frac{(2 n + 3) \cdot \frac{1}{n} (n + 1) \cdot \frac{1}{n} = lim n \to \infty}{(n + 1) \cdot \frac{1}{n}} \end{matrix}$

Følgen konvergerer og har grenseverdien 2
Når $n \to \infty$ , vil $\frac{n}{2} Da vil a_{n} = \frac{n}{2} Følgen nærmer seg ikke noe bestemt tall.$

Følgen divergerer.

Oppgave 1.17

Undersøk om følgene konvergerer, og finn eventuelt grenseverdien.

$a_{n} = 3 - \frac{2}{n}$
$a_{n} = \frac{3 n - 1}{2 n + 3}$
$a_{n} = \frac{n^{2} - 3 n}{2 n + 4}$

Oppgave 1.18

Fra R1 vet vi at

$lim t \to 0$

Finn

$lim n \to \infty$

Utforsk summen av hele tall

Steg 1

I Utforsk figurtall så vi på trekanttallene:

Vi fant denne formelen for trekanttall nr. n:

$T_{n} = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$

Hvordan kan du ved hjelp av figuren se at regelen i oppgave a er riktig?
Bruk regelen til å finne summen av de 100 minste naturlige tallene.

Steg 2

I Utforsk figurtall så vi på rektangeltallene:

Vi fant denne formelen:

$R_{n} = n \cdot (n + 1)$

Regn ut summen av de to minste, de tre minste, de fire minste og de fem minste positive partallene. Sammenlikn med rektangeltallene.
Hvilken regel ser ut til å gjelde?
Prøv ut regelen din ved å summere flere partall.
Forklar regelen i oppgave a ut fra figuren.
Bruk formelen til å finne summen av de 50 minste partallene.

Steg 3

I Utforsk figurtall så vi på kvadrattallene $K_{n} = n^{2} .$ Vi kan framstille dem som figurtall på denne måten:

Regn ut summen av de to minste, de tre minste, de fire minste og de fem minste positive oddetallene.
Hvilken regel ser ut til å gjelde?
Prøv ut regelen din ved å summere flere oddetall.
Forklar regelen i oppgave a ut fra figuren.
Bruk formelen til å finne summen av de 50 minste positive oddetallene.
Hvilken sammenheng må det være mellom svarene i oppgave c i steg 1, 2 og 3?

1.2 Rekker

Det regnestykket vi får når vi skal summere leddene i en tallfølge, kaller vi en rekke. Tallfølgen $6, gir rekka$

$6 + 12 + 24 + 48 + 96$

Tallene $6, er leddene i rekka. Rekka ovenfor har fem ledd og er et eksempel på en endelig rekke .$

Den uendelige tallfølgen $1, gir den uendelige rekka$

$1 + 2 + 4 + 8 + \dots$

En uendelig rekke har uendelig mange ledd.

På samme måten som i tallfølger bruker vi ofte symbolet $a_{1}$ om det første leddet i en rekke, $a_{2}$ om det andre leddet, osv. I rekka $6 + 12 + 24 + 48 + 96$ er

$a_{1} = 6, a_{2} = 12, a_{3} = 24, a_{4} = 48 og a_{5} = 96$

Det tallet vi får når vi legger sammen leddene i en endelig rekke, kaller vi summen av rekka. Vi bruker $s_{n}$ som symbol for summen av de n første leddene. I rekka $6 + 12 + 24 + 48 + 96$ er

$s_{3} = 6 + 12 + 24$ $= 42$

$s_{5} = 6 + 12 + 24 + 48 + 96$ $= 186$

Generelt er

$s_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + . . . + a_{n}$

Med symboler kan vi skrive denne summen slik:

$s_{n} = n \sum i = 1 a_{i}$

Ofte er leddene i en rekke gitt ved en formel.

Eksempel

Leddene i en uendelig rekke er gitt ved

$a_{n} = 2 n - 1$

Skriv de fem første leddene i rekka.
Finn $s_{3}$ og $s_{5}$ ved regning.
Finn $s_{10}$ og $s_{100}$ i CAS.

Løsning

Først finner vi de fem første leddene i rekka

$a_{1} = 2 \cdot 1 - 1 = 1 - -$

$a_{2} = 2 \cdot 2 - 1 = 3 - -$

$a_{3} = 2 \cdot 3 - 1 = 5 - -$

$a_{4} = 2 \cdot 4 - 1 = 7 - -$

$a_{5} = 2 \cdot 5 - 1 = 9 - -$
$s_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3}$ $= 1 + 3 + 5$ $= 9 - -$

$s_{5}$ $= 1 + 3 + 5 + 7 + 9$ $= 25 - - - - - -$
I CAS finner vi summen av de 10 første leddene ved å skrive

Sum(2n − 1, n, 1, 10)

Legg merke til at vi først skriver formelen, deretter navnet på variabelen og til slutt den minste og den største verdien av variabelen. Det gir dette resultatet:

Når vi skal finne summen av de 100 første leddene, endrer vi bare 10 til 100.

$s_{10} = 100 - -------- - - -------- - og s_{100} = 10000 - ------------ - - ------------ -$

Legg merke til at CAS skriver $100 \sum n = 1 2 n - 1 .$ Det betyr $100 \sum n = 1 (2 n - 1)$ og ikke $(100 \sum n = 1 2 n) - 1.$ CAS burde hatt en parentes her.

Oppgave 1.20

Finn summene $s_{5}, s_{6}, s_{7} og s_{8}$ i rekka

$2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19$

Oppgave 1.21

Leddene i en rekke er gitt ved

$a_{n} = 3 n - 2$

Finn summen $s_{6}$ ved regning.
Finn summen $s_{20}$ i CAS.

Oppgave 1.22

Leddene i en rekke er gitt ved

$a_{n} = 2 \cdot n^{2}$

Finn summen $s_{5}$ ved regning.
Finn summen $s_{15}$ i CAS.
Finn $s_{101} - s_{100}$ uten digitale hjelpemidler.

Noen ganger kan vi bruke CAS til å finne en formel for summen av en rekke.

Eksempel

Bruk CAS til å finne summen av de n minste positive oddetallene.

Løsning

Oddetall nr. i er gitt ved formelen $a_{i} = 2 i - 1$ der $i \geq 1.$ Dermed kan vi finne summen av de n minste positive oddetallene ved å skrive

Sum(2i−1, i, 1, n)

$Summen av de - ---------------------------------------------------------------------- - - ---------------------------------------------------------------------- - .$

Det stemmer med det vi fant i Utforsk sum av hele tall.

Vi kan bruke Python til å summere rekker. Programmet nedenfor finner summen av en rekke der leddene er gitt ved $a_{n} = 2 n - 1.$

Programmet gir summen av $50$ på denne måten:

Antall ledd? 50
Summen av 50 ledd er 2500.

Oppgave 1.25

Bruk Python til å finne summen $s_{20}$ i en rekke der leddene er gitt ved

$a_{n} = 3 n - 2$

Oppgave 1.26

Bruk Python til å finne summen $s_{15}$ i en rekke der leddene er gitt ved

$a_{n} = 2 \cdot n^{2}$

Utforsk aritmetiske følger

Steg 1

I en aritmetisk følge er det er en fast differanse d mellom et ledd og leddet foran. Følgen

$2,$

er aritmetisk med differanse $d = 3$ , for differansen mellom et ledd og leddet foran er 3 for de leddene som er oppgitt. Dermed kan vi også finne et nytt ledd ved å legge 3 til det forrige leddet.

Hvor mange ganger må vi legge til differansen 3 for å komme fra $a_{1} = 2$ til $a_{4} = 11$ i følgen ovenfor?
Hvor mange ganger må vi legge til differansen 3 for å komme fra $a_{1} = 2$ til $a_{10}$ ?
Bruk dette til å forklare at $a_{10} = 29.$
Hvor mange ganger må vi legge til differansen 3 for å komme fra $a_{1} = 2$ til $a_{n}$ ?
Bruk dette til å forklare at $a_{n} = 3 n - 1.$

Steg 2

I en aritmetisk følge med differanse d er $a_{1} = 2.$

Skriv opp uttrykk for de fem første leddene i følgen.
Hvor mange ganger må vi legge til differansen d for å komme fra $a_{1} = 2$ til $a_{5}$ ?
Hvor mange ganger må vi legge til differansen d for å komme fra $a_{1} = 2$ til $a_{7}$ ?
Hvor mange ganger må vi legge til differansen d for å komme fra $a_{1} = 2$ til $a_{n}$ ?
Bruk dette til å forklare at $a_{n} = 2 + (n - 1) \cdot d .$

Steg 3

La $a_{1}$ være det første leddet i en aritmetisk følge med differanse d.

Skriv opp uttrykk for de fem første leddene i følgen.
Hvor mange ganger må vi legge til differansen d for å komme fra $a_{1}$ til $a_{5}$ ?
Hvor mange ganger må vi legge til differansen d for å komme fra $a_{1}$ til $a_{8}$ ?
Hvor mange ganger må vi legge til differansen d for å komme fra $a_{1}$ til $a_{n}$ ?
Bruk dette til å forklare at $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d .$

1.3 Aritmetiske følger

I en aritmetisk følge er det er en fast differanse d mellom to ledd som følger etter hverandre. Følgen $1, 5, 9, 13,$ er aritmetisk med differanse $d = 4$ , for differansen mellom et ledd og leddet foran er 4 for alle de leddene som er oppgitt. Dermed kan vi finne et nytt ledd ved å legge til 4 til det forrige. Dermed er

$a_{n} = a_{n - 1} + 4$

når $n > 1.$ Vi har en tilsvarende rekursiv formel for alle aritmetiske følger.

En tallfølge er aritmetisk dersom det fins et tall d slik at

$a_{n} = a_{n - 1} + d$

for alle $n > 1.$

Eksempel

I en aritmetisk følge er $a_{1} = 9$ og $d = - 2.$

Finn de fem første leddene.

Løsning

$a_{1} = 9 - -$

$a_{2} = a_{1} + d$ $= 9 + (- 2) = 7 - -$

$a_{3} = a_{2} + d$ $= 7 + (- 2) = 5 - -$

$a_{4} = a_{3} + d$ $= 5 + (- 2) = 3 - -$

$a_{5} = a_{4} + d$ $= 3 + (- 2) = 1 - -$

For å komme fram til ledd nr. n i en aritmetisk følge må vi legge differansen d til $a_{1}$ i alt $(n - 1)$ ganger. Det gir denne eksplisitte formelen for leddet $a_{n}$ i en aritmetisk følge.

La $a_{1}$ være det første leddet i en aritmetisk følge med differanse d. Ledd nr. n er da gitt ved formelen

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d$

Eksempel

I en aritmetisk følge er det første leddet $a_{1} = 3$ , og differansen $d = 2.$

Finn en formel for ledd nr. n.
Finn ledd nr. 37.
Finn nummeret til $leddet$

Løsning

Ledd nr. n er gitt ved formelen

$a_{n}$ $= a_{1} + (n - 1) \cdot d$ $= 3 + (n - 1) \cdot 2$ $= 3 + 2 n - 2$

$a_{n} = 2 n + 1 - ----------- - - ----------- -$
Ledd nr. 37 er

$a_{37}$ $= 2 \cdot 37 + 1$ $= 75 - - - - - -$
La n være nummeret til $leddet$ Da må

$a_{n} = 69$

$2 n + 1 = 69$

$2 n = 68$

$n = 34 - ------ - - ------ -$

Oppgave 1.30

Skriv opp de fem første leddene i en aritmetisk følge der

$a_{1} = - 12$ og $d = 5$
$a_{1} = 24$ og $d = - 2$

Oppgave 1.31

Finn differansen og en formel for leddet $a_{n}$ i de aritmetiske følgene.

$5,$
$81,$

Oppgave 1.32

Kari får $100$ i ukepenger i uke nr. 1. Beløpet skal økes med $2$ hver uke.

Finn en formel for beløpet i uke nr. n.
Omtrent hvor mye får hun i ukepenger om $2$ ?

Oppgave 1.33

I en aritmetisk følge er det femte leddet $a_{5} = 13$ og differansen $d = 4.$

Finn det første leddet $a_{1} .$
Finn en formel for ledd nr. n.
Finn nummeret til $leddet$

Oppgave 1.34

I en aritmetisk følge er $a_{3} = 11$ og $a_{5} = 8.$

Finn $a_{1}$ og d.
Finn en formel for ledd nr. n.

Utforsk aritmetiske rekker

I en aritmetisk rekke danner leddene en aritmetisk følge. Da vet vi at når $n > 1$ , er

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d$

der d er differansen i følgen.

Steg 1

Nå skal vi utlede en formel for summen $s_{5}$ av de 5 første leddene i en aritmetisk rekke med differanse d.

Forklar at

$s_{5}$ $= a_{1} + (a_{1} + d) + (a_{1} + 2 d) + (a_{1} + 3 d) + (a_{1} + 4 d)$
Forklar at

$s_{5}$ $= a_{5} + (a_{5} - d) + (a_{5} - 2 d) + (a_{5} - 3 d) + (a_{5} - 4 d)$
Summerer de to uttrykkene for $s_{5}$ og vis at

$s_{5} + s_{5}$ $= 5 \cdot (a_{1} + a_{5})$
Vis at

$s_{5}$ $= \frac{a_{1} + a_{5}}{2}$

Steg 2

Gå fram som i $steg$ og vis at

$s_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2}$

også for andre verdier for n.

1.4 Aritmetiske rekker

Når vi skal summere leddene i en aritmetisk følge, får vi en aritmetisk rekke. I en aritmetisk rekke er det dermed en fast differanse d mellom to ledd som følger etter hverandre. Rekka $2 + 5 + 8 + 11 + 14 + \dots$ er aritmetisk med differanse $d = 3.$ Fra kapittel 1.3 vet vi at ledd nr. n i en aritmetisk rekke er gitt ved

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d$

I Utforsk aritmetiske rekker beviste dere sikkert denne formelen for summen av de n første leddene i en slik aritmetisk rekke:

Summen av de n første leddene i en aritmetisk rekke er gitt ved

$s_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2}$

Legg merke til at summen av leddene i en aritmetisk følge er ‘gjennomsnittsleddet’ ganget med antall ledd.

Eksempel

Regn ut summen $1 + 2 + 3 + \dots + 100.$

Løsning

Uttrykket er en aritmetisk rekke der $a_{1} = 1$ og differansen $d = 1.$ Rekka har $100$ , slik at $n = 100$ , og det siste leddet er $a_{100} = 100.$ Summen blir

$s_{100}$ $= \frac{a_{1} + a_{100}}{2}$ $= \frac{1 + 100}{2}$ $= \frac{101 \cdot 100}{2}$ $= 5050 - --- - - --- -$

Eksempel

Heidi får $100$ i ukepenger. Beløpet skal økes med $2$ hver uke.

Hvor mye får Heidi i alt i ukepenger i hver av de fire første ukene?
Hvor mye får Heidi i ukepenger i uke nr. 104 (om to år)?
Hvor mye får Heidi samlet i ukepenger de to første åra?

Løsning

De fire første ukene får hun

$a_{1}$ $= 100 kr - ----- - - ----- -$

$a_{2}$ $= 100$ $= 102 - ------ - - ------ -$

$a_{3}$ $= 102$ $= 104 - ------ - - ------ -$

$a_{4}$ $= 104$ $= 106 - ------ - - ------ -$
Summen av alle kronebeløpene de to første åra blir

$s_{104}$ $= \frac{a_{1} + a_{104}}{2}$ $= \frac{1002 \cdot 104}{2} = 21$

Samlet får Heidi 21 112 kr i ukepenger de to første åra.

Oppgave 1.40

Finn summen av de n første leddene i en aritmetisk rekke når

$a_{1} = 1, d = 5 og n = 10$
$a_{1} = 100, d = - 3 og n = 30$
$a_{1} = 15, a_{2} = 20 og n = 12$
$a_{1} = 50, a_{10} = 32 og n = 50$

Oppgave 1.41

Finn summen av de aritmetiske rekkene.

$1 + 2 + 3 + 4 + \dots + 1000$
$1 + 4 + 7 + \dots + 28$
$100 + 98 + 96 + \dots + 50$

Oppgave 1.42

Finn summen av alle de naturlige tallene som er mindre enn $10$
Finn summen av alle de oddetallene som er mindre enn $10$
Finn summen av alle de partallene som er mindre enn $10$

Oppgave 1.43

Vis at summen av de n første oddetallene er lik $n^{2}$

Eksempel

I en aritmetisk rekke er $a_{1} = 5$ og differansen $d = 2.$ Summen av rekka er 192.

Skriv opp de første leddene i rekka.
Finn et uttrykk for ledd nr. n.
Finn ved regning og digitalt antallet ledd i rekka.

Løsning

Det første leddet er 5. De neste leddene får vi fram ved å legge til 2. Rekka er

$5 + 7 + 9 + 11 + \dots$
Ved regning:

Her er antallet ledd n ukjent. Formelen for summen av n ledd gir

$s_{n}$ $= \frac{a_{1} + a_{n}}{2}$

$= \frac{5 + (2 n + 3)}{2}$

$= \frac{2 n + 8}{2}$

$= \frac{2 \cdot (n + 4)}{2}$

$= n^{2} + 4 n$

Dette gir en likning som vi kan løse.

$s_{n} = 192$

$n^{2} + 4 n = 192$

$n^{2} + 4 n - 192 = 0$

$n = 12 \lor n = - 16$

Ettersom n må være et positivt tall, får vi løsningen $n = 12.$

Rekka består av 12 ledd.

Digitalt:

Vi kan løse oppgaven i CAS. Da bruker vi at $a_{n} = 2 n + 3$ og lar x være antallet ledd i rekka. Vi skriver

$Sum (2 n + 3,$ og trykker på

Rekka består av 12 ledd.

Vi kan også løse oppgaven i Python:

Programmet gir denne utskriften:
```
Antall ledd er 12.
```

Oppgave 1.44

I en aritmetisk rekke med $a_{1} = 1$ og $d = 7$ er summen 1350.
Hvor mange ledd er det i rekka?
Løs oppgaven ved regning og digitalt.

Oppgave 1.45

En bedrift omsetter for $200$ i 2020 og regner med å øke omsetningen med $15$ per år.
Finn den samlede omsetningen i perioden fra og med 2020 til og med 2029.

Oppgave 1.46

Vis at summen av de n første leddene i en aritmetisk rekke er gitt ved

$s_{n} = n \cdot a_{1} + \frac{n (n - 1)}{2}$

der $a_{1}$ er det første leddet og d er differansen.

Utforsk geometriske følger

Steg 1

I en geometrisk følge er det et fast forhold k mellom et ledd og leddet foran. Tallet k kaller vi kvotienten i følgen. Følgen

$2, 6, 18, 54, . . .$

er geometrisk med kvotient $k = 3$ , for forholdet mellom et ledd og leddet foran er 3 for de leddene som er oppgitt. Dermed kan vi finne et nytt ledd ved å gange det forrige leddet med 3.

Hvor mange ganger må vi gange med kvotienten 3 for å komme fra $a_{1} = 2$ til $a_{4} = 54$ i følgen ovenfor?
Hvor mange ganger må vi gange med kvotienten 3 for å komme fra $a_{1} = 2$ til $a_{10}$ ?
Bruk dette til å forklare at $a_{10} = 39 366.$
Hvor mange ganger må vi gange med kvotienten 3 for å komme fra $a_{1} = 2$ til $a_{n}$ ?
Bruk dette til å forklare at $a_{n} = 3^{n - 1} \cdot 2.$

Steg 2

La $a_{1}$ være det første leddet i en geometrisk følge med kvotient k.

Skriv opp uttrykk for de fem første leddene i følgen.
Hvor mange ganger må vi gange med kvotienten k for å komme fra $a_{1}$ til $a_{5}$ ?
Hvor mange ganger må vi gange med kvotienten k for å komme fra $a_{1}$ til $a_{10}$ ?
Hvor mange ganger må vi gange med kvotienten k for å komme fra $a_{1}$ til $a_{n}$ ?
Bruk dette til å forklare at $a_{n} = k^{n - 1} \cdot a_{1} .$

1.5 Geometriske følger

I en geometrisk følge er det et fast forhold k mellom et ledd og leddet foran. Tallet k kaller vi kvotienten i rekka. Dermed kan vi alltid finne et nytt ledd ved å gange leddet foran med kvotienten k. I følgen

$3, 6, 12, 24, 48, . . .$

er forholdet mellom et ledd og leddet foran lik 2 for alle leddene vi har oppgitt. Dette er dermed en geometrisk følge der kvotienten $k = 2.$ Dersom $n > 1$ , er

$a_{n} = 2 \cdot a_{n - 1}$

En tilsvarende rekursiv formel gjelder for alle geometriske følger.

I geometrisk tallfølge med kvotient k er

$a_{n} = k \cdot a_{n - 1}$

for alle $n > 1.$

Eksempel

I en geometrisk følge er det første leddet $a_{1} = 8$ , og kvotienten $k = - \frac{1}{2}$
Finn de fem første leddene.

Løsning

De fem første leddene er

$a_{1} = 8 - -$

$a_{2}$ $= k \cdot a_{1}$ $= - \frac{1}{2}$ $= - 4 - - - - - -$

$a_{3}$ $= k \cdot a_{2}$ $= - \frac{1}{2}$ $= 2 - -$

$a_{4}$ $= k \cdot a_{3}$ $= - \frac{1}{2}$ $= - 1 - - - - - -$

$a_{5}$ $= k \cdot a_{4}$ $= - \frac{1}{2}$ $= \frac{1}{2} - - - - - -$

Løsning

Vi undersøker om det er et fast forhold mellom et ledd og leddet for de leddene som er oppgitt.

$\frac{a_{2}}{a_{1}}$ $= \frac{- 6}{9}$ $= - \frac{6}{9}$ $= - \frac{2}{3}$

$\frac{a_{3}}{a_{2}}$ $= \frac{4}{- 6}$ $= - \frac{4}{6}$ $= - \frac{2}{3}$

$\frac{a_{4}}{a_{3}}$ $= \frac{- \frac{8}{3} 4}{4} = - \frac{\frac{8}{3} 4 \cdot 3}{4 \cdot 3} = - \frac{8}{12} = - \frac{2}{3}$

Alle forholdene er like.

$Følgen er geometrisk med kvotient k = - \frac{2}{3} - ---------------------------------------------- - - ---------------------------------------------- -$

Oppgave 1.50

Skriv opp de fem første leddene i en geometrisk følge der

$a_{1} = 5$ og $k = 2$
$a_{1} = 16$ og $k = \frac{1}{2}$
$a_{1} = 81$ og $k = - \frac{2}{3}$

Oppgave 1.51

Finn kvotienten k i de geometriske følgene.

1, 3, 9, 27, …
625, −125, 25, −5, …
$\frac{2}{3}$

I Utforsk geometriske følger kom dere sikkert fram til denne eksplisitte formelen for leddene i en geometrisk følge.

I en geometrisk følge med kvotienten k er ledd nr. n gitt ved

$a_{n}$ $= k^{n - 1} \cdot a_{1}$

der $a_{1}$ er det første leddet.

Løsning

I denne følgen er $a_{1} = 3$ og $k = 2.$ Det gir

$a_{10}$ $= k^{10 - 1} \cdot a_{1} = 2^{9} \cdot 3$ $= 1536 - --- - - --- -$

Eksempel

På ei øy blir det satt ut $100$ Vi regner med at kaninbestanden øker med 4 % per uke. Hvor mange kaniner er det på øya på slutten av året?

Løsning

Vekstfaktoren ved 4 % økning er 1,04. Ettersom kaninbestanden øker med 4 % per uke, er kaninbestanden i uke nr. n

$a_{n}$ $= 1, 04 \cdot a_{n - 1}$

Tallet på kaniner er dermed en geometrisk følge med kvotient $k = 1, 04.$ Tallet på kaniner i uke nr. 52 er

$a_{52}$ $= k^{52 - 1} \cdot a_{1}$ $= {1, 04}^{51} \cdot 100$ $= 739$

Om ett år er det 739 kaniner på øya.

Diskuter

Forklar hvorfor den rekursive formelen i eksemplet ovenfor ikke kan være helt riktig for alle verdier for n.

Oppgave 1.52

Finn først en formel for leddet $a_{n}$ , og finn deretter $a_{10}$ for hver av følgene i oppgave 1.51.

Oppgave 1.53

Tenk deg at Judas satte en sølvmynt i banken i året 30 e.Kr.

Hvor mange sølvmynter ville det ha stått på den kontoen i 2022 hvis vi regner med 1 % rente per år?
Hva blir beløpet med 2 % rente per år?

Utforsk geometriske rekker

I en geometrisk rekke danner leddene en geometrisk følge. I en geometrisk rekke er dermed hvert ledd lik det foregående leddet multiplisert med et fast tall k (kvotienten). Rekka $3 + 6 + 12 + 24 + 48 + \dots$ er geometrisk med kvotient $k = 2.$

Vi skal nå fram til en formel for summen av en geometrisk rekke.

Steg 1

Vi ser på den geometriske rekka

$1 + k + k^{2} + k^{3} + . . .$

Sett opp et uttrykk for summen $s_{5}$ av de fem første leddene.
Sett opp et uttrykk for $k \cdot s_{5} .$ Gang ut uttrykket!
Regn ut $k \cdot s_{5} - s_{5} .$
Bruk oppgave c til å vise at når $k \neq 1$ , er

$s_{5} = \frac{k^{5} - 1}{k - 1}$

Hvorfor må vi her forutsette at $k \neq 1$ ?

Steg 2

Hvordan kan du nå bruke tankegangen i steg 1 til å bevise at når $k \neq 1$ , er summen av de n første leddene i rekka $1 + k + k^{2} + k^{3} + . . .$ gitt ved

$s_{n} = \frac{k^{n} - 1}{k - 1}$

Steg 3

Vi ser på den geometriske rekka

$a_{1} + a_{1} \cdot k + a_{1} \cdot k^{2} + a_{1} \cdot k^{3} + . . .$

Forklar at

$s_{n} = a_{1} \cdot (1 + k + k^{2} + . . . + k^{n - 1})$
Bruk steg 2 til å bevise at når $k \neq 1$ , er

$s_{n} = a_{1} \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1}$

Steg 4

Vi ser på rekka $a_{1} + a_{1} \cdot k + a_{1} \cdot k^{2} + a_{1} \cdot k^{3} + . . . .$
Forklar at når $k = 1$ , er $s_{n} = n \cdot a_{1} .$

1.6 Geometriske rekker

I en geometrisk rekke danner leddene en geometrisk følge. I en geometrisk rekke er dermed alle ledd unntatt det første lik det foregående leddet multiplisert med et fast tall k (kvotienten). Fra kapittel 1.5 vet vi at ledd nr. n er gitt ved formelen

$a_{n}$ $= k^{n - 1} \cdot a_{1}$

I Utforsk geometriske rekker kom dere sikkert fram til dette:

La $s_{n}$ være summen av de n første leddene i en geometrisk rekke med kvotient k.

Hvis $k \neq 1$ , er

$s_{n}$ $= a_{1} \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1}$

Hvis $k = 1$ , er

$s_{n}$ $= n \cdot a_{1}$

Eksempel

Finn summen av den geometriske rekka

$3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96$

ved å bruke formelen for summen.

Løsning

Dette er en geometrisk rekke med seks ledd der kvotienten $k = 2.$ Summen er

$s_{6}$ $= a_{1} \cdot \frac{k^{6} - 1}{k - 1}$ $= 3 \cdot \frac{2^{6} - 1}{2 - 1}$ $= 3 \cdot \frac{64 - 1}{1}$ $= 3 \cdot 63$ $= 189 - -- - - -- -$

Når rekka har så få ledd, er det enklere å summere leddene direkte.

Eksempel

Finn summen av den geometriske rekka

$1 + 2 + 4 + . . . + 128$

Løsning

Dette er ei geometrisk rekke der kvotienten $k = 2.$ Antallet ledd n er bestemt
ved at

$2^{n - 1} = 128 \Rightarrow 2^{n - 1} = 2^{7} \Rightarrow n - 1 = 7 \Rightarrow n = 8$ $128 = 2^{7}$

$s_{8} = a_{1} \cdot \frac{k^{8} - 1}{k - 1}$

Løsning

Dette er en geometrisk rekke der $a_{1} = 3$ og kvotienten $k = 2.$ Ledd nr. n er da gitt ved

$a_{n} = 3 \cdot 2^{n - 1}$

Vi løser oppgaven i CAS og i Python.

CAS:

Når vi skal finne summen uten å bruke formelen, skriver vi $sum (3 \cdot 2^{n - 1}, n, 1, .$

Ved hjelp av formelen finner vi summen slik:

Python:

Dette programmet finner summen uten å bruke formelen:

Programmet gir denne utskriften:

Uten sumformel blir summen 3145725.

Dette programmet finner summen ved hjelp av formelen:

Det gir dette resultatet:

Med sumformel blir summen 3145725.

$Summen er - --------------------- - - --------------------- - .$

Eksempel

En gammel legende forteller at sjahen av Persia ble svært begeistret da han fikk lære å spille sjakk. Læremesteren kunne derfor ønske seg hva han ville som takk for innsatsen. Til sjahens forundring ønsket læremesteren seg bare litt ris. Han ville ha ett riskorn i den første ruta på sjakkbrettet, to riskorn i den andre, fire i den tredje, osv. Sjahen godtok dette enkle ønsket.

Hvor mange riskorn blir det i den siste ruta når sjakkbrettet har $64$ ?
Hvor mange riskorn skulle læremesteren ha til sammen?
Hvor mye veier alle riskornene til sammen hvis ett riskorn veier $0, 02$ ?

Løsning

Tallet på riskorn blir

$1 + 2 + 4 + 8 + \dots$

Dette er en geometrisk rekke med $a_{1} = 1$ og $k = 2.$ Tallet på riskorn i rute nr. n blir

$a_{n}$ $= a_{1} \cdot k^{n - 1}$ $= 1 \cdot 2^{n - 1}$ $= {2^{n - 1}}$

Tallet på riskorn i rute nr. 64 blir

$a_{64}$ $= 2^{63}$ $= 9, 22 \cdot 10^{18} - --------- - - --------- -$
For å finne ut hvor mange riskorn det blir på brettet, må vi summere den geometriske rekka $1 + 2 + 4$ med 64 ledd:

$s_{64}$ $= a_{1} \cdot \frac{k^{64} - 1}{k - 1}$ $= 1 \cdot \frac{2^{64} - 1}{2 - 1}$ $= 2^{64} - 1$ $= 1, 84 \cdot 10^{19} - --------- - - --------- -$
Samlet veier riskornene

$1, 84 \cdot 10^{19} \cdot 0, 02 g$ $= 1, 84 \cdot 10^{19} \cdot 2 \cdot 10^{- 5} kg$ $= 3, 7 \cdot 10^{14} kg$ $= 3, 7 \cdot 10^{11} tonn$

$Riskornene veier ca. - ------------------------------------------- - .$

Dette blir omtrent $50$ ris til hver person som bor på jorda i dag. Sjahen av Persia fikk sannsynligvis visse problemer med å oppfylle dette ønsket.
Side 34

Oppgave 1.60

Finn summen av en geometrisk rekke med n ledd når

$a_{1} = 1, k = 2 og n = 10$
$a_{1} = 3, k = - \frac{1}{2}$
$a_{1} = 10, a_{2} = 12 og n = 15$

Oppgave 1.61

Finn digitalt summen av de geometriske rekkene uten og med bruk av sumformelen.

$1 + 3 + 9 + 27 + . . . + 19683$
$384 - 192 + 96 - 48 + . . . + 6 - 3$
$5 + 10 + 20 + . . . + 5120$
$50 + 50 \cdot 1, 05 + . . . + 50 \cdot 1, 05^{19}$

Oppgave 1.62

En bedrift har en omsetning på $200$ og har som mål å øke omsetningen med 7 % per år.

Hvor stor blir da omsetningen om ti år?
Finn den samlede omsetningen i denne tiårsperioden.

Oppgave 1.63

En bedrift slipper ut $36$ CO₂ per uke. Bedriften får pålegg om å redusere utslippet med 5 % per uke.

Hvor stort blir da utslippet per uke om $52$ ?
Finn det samlede utslippet i perioden.

Eksempel

Mari setter $10$ i banken hvert år i $12$ Hun får 3 % rente per år.

Finn ved regning hvor mye Mari har i banken like etter det tolvte innskuddet.
Hvor mye har Mari fått rente?
Kontroller digitalt hvor mye Mari har i banken etter det tolvte innskuddet uten å bruke formelen for summen av geometrisk rekke.
Hvor mange år går det før Mari har $200$ i banken?

Løsning

Like etter at det tolvte beløpet er betalt inn, har Mari ikke fått noe rente på det beløpet, slik at det fortsatt er $10$ Det nest siste beløpet har stått i banken i ett år og har vokst til $10000$ Det tredje siste beløpet har stått i banken i to år og er blitt til $10000$ Slik kan vi fortsette. Det første beløpet har stått i banken i $11$ og har vokst til $10000$ Til sammen blir dette

$10000$

Dette er en geometrisk rekke med $12$ og kvotient $k = 1, 03.$ Det første leddet er $a_{1} = 10000$ Summen er

$s_{12}$ $= a_{1} \cdot \frac{k^{12} - 1}{k - 1}$ $= 10 = 141920 - ---------- - - ---------- -$

Mari har betalt $10$ i tolv år. Til sammen blir det 120 000 kr. Resten
av beløpet er rente. Renten er

$141920$
I CAS kan vi kontrollere beløpet ved å skrive $sum (10000 \cdot {1.03}^{n - 1}, n, 1, .$

Mari har 141 920 kr i banken etter 12 år.

I Python kan vi gjøre det slik:

Det gir denne utskriften:
```
Etter 12 år har Mari 141920.30 kr.
```
I CAS skriver vi $sum (10000 \cdot {1.03}^{n - 1}, n, 1,$ der x er antallet år til beløpet er $200000$ Vi løser likningen og får dette:

Beløpet har passert 200 000 kr etter 16 år.

I Python kan vi finne antallet år slik:

Programmet gir dette svaret:
```
Det går 16 år til summen har passert 200 000 kr.
```
Side 36

Diskuter

Forklar hvordan programmene i eksemplet fungerer.

Oppgave 1.64

Otto setter inn $30$ på en sparekonto i begynnelsen av hvert år. Renta er 3 % per år.

Finn ved regning hvor mye penger Otto har på kontoen like etter at han satte inn det 6. beløpet.
Finn digitalt hvor mye penger Otto har på kontoen like etter at han satte inn det 10. beløpet.
Når har Otto $500$ på kontoen?

Oppgave 1.65

Kari begynte å spare 1. januar 2020. Hun setter $500$ i banken den første dagen i hver måned. Hun får 0,2 % rente per måned.

Finn ved regning hvor mye hun hadde i banken like etter innskuddet den 1. januar 2021.
Finn digitalt hvor mye hun har i banken på nyttårsaften 2024.
Finn digitalt hvor lang tid går det før hun har $100$ i banken.

Utforsk uendelige rekker

Steg 1

Finn digitalt summen av de $10$ , de $20$ og de $100$ leddene i rekka

$\frac{1}{2}$

Hva ser du?

Steg 2

I kvadratet nedenfor har sidekanten lengden 1.

Del kvadratet i to like store deler som vist ovenfor. Hver del får arealet $\frac{1}{2}$ Del den ene av de to delene to like deler. Hver av de to delene får da arealet $\frac{1}{4}$ Fortsett slik, og bruk figuren til å si noe om den uendelige rekka

$\frac{1}{2}$

Steg 3

Bruk formelen for summen av ei geometrisk rekke til å vise at summen av de n første leddene i rekka

$\frac{1}{2}$

er gitt ved

$s_{n} = 1 - \frac{1}{2^{n}}$
Finn $lim n \to \infty$
Hva vil du nå si om summen av den uendelige rekka

$\frac{1}{2}$

1.7 Uendelige rekker

I Utforsk uendelige rekker viste dere sikkert at summen av de n første leddene i rekka

$\frac{1}{2}$

er gitt ved

$s_{n} = 1 - \frac{1}{2^{n}}$

Hvis vi lar tallet n på ledd gå mot uendelig, går $\frac{1}{2^{n}}$ mot null. Da vil

$s_{n} = 1 - \frac{1}{2^{n}}$ når $n \to \infty$

Altså er $lim n \to \infty$ Da sier vi at rekka konvergerer og har summen $s = 1.$

En uendelig rekke konvergerer og har summen s hvis summen $s_{n}$ av de n første leddene nærmer seg tallet s når $n \to \infty$ , altså hvis $lim n \to \infty$

Hvis summen $s_{n}$ av de n første leddene ikke nærmer seg noe bestemt tall når $n \to \infty$ , sier vi at rekka divergerer.

Oppgave 1.70

Finn et uttrykk for summen $s_{n}$ av de n første leddene i hver rekke. Avgjør om rekkene konvergerer, og finn eventuelt summen av de uendelige rekkene.

$625 + 125 + 25 + 5 + \dots$
$2 + 5 + 8 + 11 + \dots$
$100 + 100 \cdot 1, 1 + 100 \cdot {1, 1}^{2} + \dots$
$100 + 100 \cdot 0, 9 + 100 \cdot {0, 9}^{2} + \dots$

Nå skal vi studere den uendelige geometriske rekka

$a_{1} + a_{1} \cdot k + a_{1} \cdot k^{2} + a_{1} \cdot k^{3} + . . .$

Vi ønsker å finne ut når rekka konvergerer.

Hvis $a_{1} = 0$ , er alle leddene i rekka lik null. Rekka konvergerer og har summen 0. Vi forutsetter heretter at $a_{1} \neq 0.$

Hvis $k = 1$ , er $s_{n} = n \cdot a_{1}$ , og da vil absoluttverdien av $s_{n}$ vokse over alle grenser når $n \to \infty .$ Rekka divergerer.

Hvis $k = - 1$ , blir rekka

$a_{1} - a_{1} + a_{1} - a_{1} + . . .$

Summen $s_{n}$ veksler mellom tallene 0 og $a_{1}$ alt etter om n er et partall eller et oddetall. Summen nærmer seg ikke noe fast tall, og rekka divergerer.

Hvis $k \neq 1$ , er summen av n ledd gitt ved

$s_{n} = a_{1} \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1}$

Hvis $k > 1$ eller $k < - 1$ , vil absoluttverdien av $k^{n}$ vokse over alle grenser når $n \to \infty .$ Dermed vil absoluttverdien av $s_{n}$ vokse over alle grenser. Rekka divergerer.

Dersom $- 1 < k < 1$ , vil $k^{n} \to 0$ når $n \to \infty .$ Dermed er

$lim n \to \infty$ $= lim n \to \infty = a_{1} \cdot \frac{0 - 1}{k - 1} = a_{1} \cdot \frac{1}{1 - k} = \frac{a_{1}}{1 - k}$

Rekka konvergerer og har summen $s = \frac{a_{1}}{1 - k}$

En uendelig geometrisk rekke der $a_{1} \neq 0$ , er konvergent hvis og bare hvis kvotienten $k \in ⟨ - 1, 1 ⟩ .$ Rekka har da summen

$s = \frac{a_{1}}{1 - k}$

Eksempel

Den greske filosofen Zenon, som levde rundt 500 f.Kr., la fram et problem som seinere er blitt kjent som Zenons paradoks.

Zenon fortalte om Akilles, den raskeste mannen i Hellas på den tida, som skulle løpe om kapp med ei skilpadde. Akilles kunne løpe $100$ like fort som skilpadda løp $10$ Skilpadda fikk et forsprang på $100$ Da Akilles kom til punktet skilpadda startet fra, var skilpadda $10$ foran ham. Da Akilles kom dit, var skilpadda på et punkt $1$ foran ham. Akilles løp videre, men skilpadda var enda $0, 1$ foran ham da han nådde dette punktet. Slik kunne Zenon fortsette resonnementet i det uendelige, og Zenon konkluderte med at Akilles aldri ville ta igjen skilpadda.

For grekerne var dette et stort problem. Erfaringen viste jo at Akilles tok igjen skilpadda. Men tanken kom til motsatt konklusjon. Skulle en tro på tanken eller på erfaringen? På den tida mente nemlig grekerne at det var tanken som formidlet sannheten. Erfaringen bestod av illusjoner.

Hva er galt med Zenons resonnement?

Løsning

Hvis vi summerer de avstandene som Akilles løp, får vi

$100$

Dette er en uendelig geometrisk rekke med $a_{1} = 100$ og kvotient $k = 0, 1.$ Rekka konvergerer, for $k \in ⟨ - 1, 1 ⟩ .$ Summen av rekka er

$s = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{100}{0, 9}$

Akilles tar igjen skilpadda etter $111, 11...$ m. Summen av uendelig mange lengder blir her en endelig lengde. Det var utenkelig for grekerne. De trodde at det eksisterte en minste og udelelig lengde (atomteorien). Med en slik minste lengde kan ikke summen av uendelig mange lengder bli endelig.

Det som nok forvirrer hjernen vår i dette paradokset, er at vi kan gjenta resonnementet uendelig mange ganger, men det betyr ikke at det går uendelig lang tid, eller at avstanden blir uendelig lang.

Eksempel

Undersøk om de uendelige geometriske rekkene konvergerer, og finn eventuelt summen.
1. $54 - 18 + 6 - 2 + . . .$
2. $\frac{27}{64}$
Bruk CAS til å løse oppgave a.

Løsning

Rekke 1 er geometrisk med kvotient

$k = \frac{a_{2}}{a_{1}}$

$Rekke 1 konvergerer fordi k \in ⟨ - 1, 1 ⟩ . - ---------------------------------------- - - ---------------------------------------- -$

Summen av rekke 1 er

$s = \frac{a_{1}}{1 - k}$

Rekke 2 er geometrisk med kvotient

$k = \frac{a_{4}}{a_{3}}$ $= \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$

$Rekke - -------------------------------------------------------------------------------- -$
Ledd nr. n i rekke 1 er gitt ved

$a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1}$ $= 54 \cdot {(- \frac{1}{3} n - 1}^{n - 1}$

I CAS finner vi summen av den uendelige rekka ved å skrive

$sum (54 \cdot {(- \frac{1}{3} n - 1, n, 1,)}^{n - 1}$

Symbolet $\infty$ finner vi ved å klikke på tastaturet og velge fanen .

$Summen er \frac{81}{2} - --------------- - - --------------- -$

I den andre rekke 2 er ledd nr. n gitt ved

$a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1} = \frac{27}{64}$

Vi prøver å finne summen av den uendelige rekka i CAS.

$Rekka divergerer. - ----------------- - - ----------------- -$
Side 41

Oppgave 1.71

Lag et program med Python som skriver ut delsummene $s_{n}$ for $n = 1, for rekkene i eksemplet ovenfor. Bruk dette til å kontollere om rekkene konvergerer eller divergerer.$

Oppgave 1.72

Avgjør ved regning om de geometriske rekkene konvergerer, og finn eventuelt summen av rekkene.

$100 + 50 + 25 + \dots$
$1 + 1, 5 + 2, 25 + \dots$
$10 - 9 + 8, 1 - 7,, 9 + \dots$
$10 - 11 + 12, 1 - 13, 31 + \dots$

Da Heidi ble født, ble det avtalt at hun skulle få et fast pengebeløp hver måned hele livet. Den første måneden skulle hun få $1000$ Deretter skulle beløpet minke med 1 % per måned.

Hvor stort er det 12. beløpet?
Hvor mye penger får Heidi det første året?
Hvor mye penger får Heidi til sammen?
Hva ville du ha svart på oppgave c hvis beløpet hadde økt med 1 % per måned i stedet?

Oppgave 1.74

Finn summen av rekka digitalt og ved regning.

$\frac{1}{4}$
Hvordan kan du finne summen ut fra denne figuren?

Oppgave 1.75

Finn summen av den uendelige geometriske rekka

$1 - \frac{1}{2}$
Lag en figur som i oppgave 1.74 og bruk den til å finne summen i oppgave a.

Den uendelige rekka

$1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots$

er geometrisk med kvotient $k = x .$ Rekka konvergerer når $k \in ⟨ - 1, 1 ⟩$ , altså når $x \in ⟨ - 1, 1 ⟩ .$ Dette intervallet kaller vi konvergensområdet for denne rekka. Summen av rekka er avhengig av x. Den er

$s (x) = \frac{a_{1}}{1 - k}$

Denne funksjonen er summen av rekka bare når x er i konvergensområdet. Definisjonsmengden for funksjonen er dermed $D_{s} \in ⟨ - 1, 1 ⟩ .$

La funksjonen f være gitt ved

$f (x) = \frac{1}{1 - x}$ , $D_{f} = R ∖ {1}$

Funksjonsuttrykket er som for funksjonen s, men definisjonsmengden er større. Grafen til f er stiplet på figuren nedenfor.

Funksjonen s har definisjonsmengden $D_{s} \in ⟨ - 1, 1 ⟩ .$ Grafen til s faller sammen med grafen til f i dette intervallet. Grafen til s er heltrukket på figuren ovenfor.

Eksempel

Vi har gitt den uendelige rekka

$1 + ln x + {(ln x) 2}^{2} + {(ln x) 3}^{3} + \dots$

Finn konvergensområdet for rekka.
Finn summen $s (x)$ av rekka.
Tegn grafen til s.
Finn ved regning når summen er 2, og når den er $\frac{1}{2}$

Løsning

Dette er en geometrisk rekke med kvotient $k = ln x .$ Rekka konvergerer dermed når

$- 1 < ln x < 1$

$e^{- 1} < e^{ln x} < e^{1}$

$\frac{1}{e}$

$Konvergensomrdet er ⟨ \frac{1}{e} - --------------------------------- - - --------------------------------- -$
Side 44
Summen av rekka er

$s (x) = \frac{a_{1}}{1 - k}$
Her er grafen til s:
Summen er 2 når

$s (x) = 2$

$\frac{1}{1 - ln x = 2}$

$1 = 2 - 2 ln x$

$2 ln x = 1$

$ln x = \frac{1}{2}$

$x = e^{\frac{1}{2}}$

$x = \sqrt{e} - ------ - - ------ -$

Dette er en gyldig løsning fordi $\sqrt{e} \in ⟨ \frac{1}{e}$

$s (x) = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{1 - ln x = \frac{1}{2}}$

$1 - ln x = 2$

$ln x = - 1$

$x = e^{- 1}$

$x = \frac{1}{e}$

Ettersom $\frac{1}{e}$ ikke ligger i konvergensområdet $⟨ \frac{1}{e}$ , konvergerer ikke rekka for denne verdien for x. Det fins ikke noen sum for denne $x -verdien .$

$Summen kan ikke bli \frac{1}{2} - ------------------------- - - ------------------------- -$

Oppgave 1.80

Finn konvergensområdet for den uendelige rekka

$x + x^{3} + x^{5} + x^{7} + . . .$
Finn summen $s (x)$ av rekka.
Tegn grafen til s.
Bruke oppgave b til å finne summen av rekka

$\frac{2}{3}$

Oppgave 1.81

Finn konvergensområdet for den uendelige rekka

$1 + \frac{1}{x}$
Finn summen $s (x)$ av rekka.
Tegn grafen til s.
For hvilke verdier av x er summen lik
1. 2
2. $\frac{1}{3}$

Finn konvergensområdet for rekka

$1 + 2 x + 4 x^{2} + 8 x^{3} + \dots$
Finn summen $s (x)$ av rekka.
For hvilke verdier av x er summen lik
1. 2
2. $\frac{1}{3}$
Bruk oppgaven til å finne summen av rekka

$1 + \frac{2}{3}$

Oppgave 1.83

Finn konvergensområdet for den uendelige rekka

$(x - 2) + {(x - 2)}^{2} + {(x - 2)}^{3} + . . .$
Finn summen $s (x)$ av rekka.

1.9 Induksjonsbevis

I delkapitlene foran har vi utledet mange formler som gjelder for alle $n \geq 1.$ Vi har funnet formelen for ledd $nr.$ i en geometrisk følge og formelen for summen av de n minste oddetallene.

Vi skal nå se på en framgangsmåte som vi kan bruke når vi skal bevise slike formler og andre påstander som skal gjelde for alle naturlige tall n. Vi bruker induksjonsprinsippet:

En formel eller påstand der de naturlige tallene inngår er riktig for alle naturlige tall n dersom den oppfyller de to kravene:

Krav 1: Den er riktig for $n = 1.$

Krav 2: Hvis den er riktig for $n = k$ , er den også riktig for $n = k + 1.$

Formelen eller påstanden er da riktig for alle naturlige tall n.

Grunnen til at formelen nå er riktig for alle verdier av n, er denne:

Når formelen oppfyller krav 1, vet vi at formelen er riktig for $n = 1.$ Men når vi vet at formelen er riktig for $n = 1$ , sikrer krav 2 at den er riktig for $n = 2.$ Men når vi vet at formelen er riktig for $n = 2$ , sikrer krav 2 at den er riktig for $n = 3.$ Og når den er riktig for $n = 3$ , er den ifølge krav 2 også riktig for $n = 4.$ Slik kan vi holde på i det uendelige. Formelen er dermed riktig for alle verdier av n.Side 47

Eksempel

Vis ved induksjon at

$1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$

Løsning

Krav 1:

Vi må vise at formelen er riktig for $n = 1.$ Da har summen på venstre side av likhetstegnet bare ett ledd. Det gir

Venstre side $= 1$

Høyre side $= 1^{2} = 1$

Formelen stemmer for $n = 1.$

Krav 2:

Vi skal nå gå ut fra at formelen er riktig for $n = k$ og bruke det til å vise at formelen er riktig for $n = k + 1.$ Vi skal altså gå ut fra at

$1 + 3 + 5 + \dots + (2 k - 1) = k^{2}$

Det er det samme som at summen av de k minste positive oddetallene er $k^{2} .$ Vi må vise at formelen er riktig for $n = k + 1.$ Da må vi vise at summen av de $(k + 1)$ minste positive oddetallene er lik ${(k + 1)}^{2} .$ Summen av de $(k + 1)$ minste positive oddetallene er

$1 + 3 + 5 + \dots + (2 k - 1) + (2 (k + 1) - 1)$

$= 1 + 3 + 5 + \dots + (2 k - 1) + (2 k + 1)$

Men vi skulle gå ut fra at $1 + 3 + 5 + \dots + (2 k - 1) = k^{2} .$ Dermed blir summen

$1 + 3 + 5 + \dots + (2 k - 1)      k^{2} + (2 k + 1)$

$= k^{2} + 2 k + 1 = {(k + 1)}^{2}$

Dermed har vi vist at summen av de $n = k + 1$ minste positive oddetallene er lik ${(k + 1)}^{2} .$ Formelen er dermed riktig for $n = k + 1.$

$Ifølge induksjonsprinsippet er formelen riktig for alle naturlige tall - ------------------------------------------------------------------------ - - ------------------------------------------------------------------------ -$

Løsning

Krav 1

Vi må vise at formelen er rett for $n = 1.$ Da har summen på venstre side av likhetstegnet bare ett ledd. Det gir

Venstre side $= 1$

Høyre side $= \frac{1}{2}$

Formelen stemmer for $n = 1.$

Krav 2

Her skal vi anta at formelen er rett for $n = k .$ Det er det samme som at

$1 + 3 + 3^{2} + \dots + 3^{k - 1} = \frac{1}{2}$

Vi må vise at formelen er rett for $n = k + 1.$ Summen på venstre side av
likhetstegnet ovenfor får da ett ledd til og blir

$1 + 3 + 3^{2} + \dots + 3^{k - 1} + 3^{k}$

Men vi skulle anta at $1 + 3 + 3^{2} + \dots + 3^{k - 1} = \frac{1}{2}$ Da blir summen

$1 + 3 + 3^{2} + \dots + 3^{k - 1}      \frac{1}{2} + 3^{k} = \frac{1}{2}$

$= \frac{1}{2}$

Dermed har vi vist at formelen da også er riktig for $n = k + 1.$

Oppgave 1.90

Vis ved induksjon at

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$

Vis ved induksjon at

$1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{n - 1} = 2^{n} - 1$

Oppgave 1.92

Bruk produktregelen for derivasjon og induksjonsprinsippet til å bevise at for alle naturlige tall n er

${(x^{n})}^{'} = n \cdot x^{n - 1}$

Oppgave 1.93

Vis ved induksjon at

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Oppgave 1.94

Vis ved induksjon at summen av de n første leddene i en aritmetisk rekke er gitt ved

$s_{n} = n \cdot a_{1} + \frac{n (n - 1)}{2}$

der $a_{1}$ er det første leddet og d er differansen.

Oppgave 1.95

På et kvadratisk brett med $2^{n}$ ruter i begge retninger er alle rutene hvite bortsett fra én som er svart. På figuren nedenfor har vi tegnet brettet for $n = 2.$ Det er da $2^{2} = 4$ ruter i hver retning.

Vi har en mengde brikker av den typen som er vist til høyre ovenfor. Denne brikken dekker nøyaktig tre ruter på brettet. Vis ved induksjon av vi kan dekke de hvite rutene på brettet med slike brikker uansett hvor stort brettet er.

Sammendrag

Tallfølge (følge)

En tallfølge er en serie av tall i en bestemt rekkefølge.

$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$

Rekke

Vi får en rekke når vi summerer leddene i en tallfølge. Ei rekke er dermed et uttrykk av typen

$a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots$

Tallene i rekka kaller vi ledd. I en uendelig rekke er det uendelig mange ledd.

Summen av ei endelig rekke

Det tallet vi får når vi summerer leddene i ei endelig rekke, kaller vi summen $s_{n}$ av rekka.

$s_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}$

Aritmetisk følge

I en aritmetisk følge er det en fast differanse d mellom et ledd og leddet foran.
For $n > 1$ er

$a_{i} = a_{i - 1} + d$

Ledd $nr.$ finner vi med formelen

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d$

Aritmetisk rekke

I en aritmetisk rekke danner leddene en aritmetisk følge. Summen $s_{n}$ av de n første leddene er gitt ved formelen

$s_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2}$

I en geometrisk følge fins det et tall k slik at hvert ledd er lik det foregående leddet multiplisert med kvotienten k. For $n > 1$ er

$a_{n} = k \cdot a_{n - 1}$

Ledd $nr.$ finner vi med formelen

$a_{n} = k^{n - 1} \cdot a_{1}$

Geometrisk rekke

I ei geometrisk rekke danner leddene en geometrisk følge. Dersom kvotienten $k \neq 1$ , er summen $s_{n}$ av de n første leddene gitt ved formelen

$s_{n} = a_{1} \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1}$

Dersom $k = 1$ , er summen $s_{n} = n \cdot a_{1} .$

Konvergent rekke

Ei rekke konvergerer og har summen s dersom summen $s_{n}$ av de n første leddene nærmer seg tallet s når n går mot uendelig.

Divergent rekke

Ei rekke divergerer hvis den ikke konvergerer.

Uendelig geometrisk rekke

Ei uendelig geometrisk rekke med $a_{1} \neq 0$ konvergerer hvis og bare hvis kvotienten $k \in ⟨ - 1, 1 ⟩ .$ Summen s av rekka blir da

$s = \frac{a_{1}}{1 - k}$

Induksjonsprinsippet

Vi har en formel eller en annen påstand der de naturlige tallene inngår. Formelen eller påstanden oppfyller disse kravene:

1. Den er riktig for $n = 1.$

2. Hvis den er riktig for $n = k$ , er den også riktig for $n = k + 1.$

Likningen eller påstanden er da riktig for alle naturlige tall n.

Taylorrekker

I matematikk er det som oftest enklere å arbeide med polynomfunksjoner enn med andre funksjoner. Noen ganger kan det derfor være nødvendig å erstatte et funksjonsuttrykk f(x) med et polynom P_n(x) av grad n som gir omtrent de samme funksjonsverdiene, og har de samme egenskapene som f(x) når x ∈ [a, b]. Et slik polynom kaller vi et taylorpolynom.

Taylorpolynom

Nå skal vi se på hvordan vi finner et polynom som passer godt til en funksjon f nær $x = 0.$

Vi finner først det tredjegradspolynomet $P_{3} (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3}$ som passer best.

Hvis $P_{3} (x)$ skal passe med $f (x)$ nær $x = 0$ , bør funksjonsverdiene være like når $x = 0.$ Altså må $P_{3} (0) = f (0) .$ Vekstfarten bør også være den samme for $x = 0.$ Dermed må ${P_{3}}^{'} (0) = f^{'} (0) .$

Funksjonene bør også ha samme krumming når $x = 0.$ Da må ${P_{3}}^{''} (0) = f^{''} (0) .$ Videre bør ${P_{3}}^{'''} (0) = f^{'''} (0) .$

Nå kan vi bestemme koeffisientene i polynomet:

$P_{3} (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} \Rightarrow P_{3} (0) = a_{0}$

$P_{3} (0) = f (0) \Rightarrow a_{0} = f (0)$

${P_{3}}^{'} (x) = a_{1} + 2 \cdot a_{2} x + 3 \cdot a_{3} x^{2} \Rightarrow {P_{3}}^{'} (0) = a_{1}$

${P_{3}}^{'} (0) = f^{'} (0) \Rightarrow a_{1} = {P_{3}}^{'} (0) = \frac{f^{'} (0)}{1}$

${P_{3}}^{''} (x) = 2 \cdot a_{2} + 3 \cdot 2 \cdot a_{3} x \Rightarrow P_{3}^{''} (0) = 2 \cdot a_{2}$

${P_{3}}^{''} (0) = f^{''} (0) \Rightarrow a_{2} = \frac{{P_{3}}^{''} (0)}{2}$

${P_{3}}^{'''} (x) = 3 \cdot 2 \cdot a_{3} \Rightarrow {P_{3}}^{'''} (0) = 3 \cdot 2 \cdot a_{3}$

${P_{3}}^{'''} (0) = f^{'''} (0) \Rightarrow a_{3} = \frac{{P_{3}}^{'''} (0)}{3 \cdot 2}$

Her brukte vi skrivemåten $2!$ (‘2 fakultet’) om $2 \cdot 1$ og $3!$ (‘3 fakultet’) om $3 \cdot 2 \cdot 1.$ Det tredjegradsuttrykket som passer best til f nær $x = 0$ , er dermed

$P_{3} (x) = f (0) + \frac{f^{'} (0)}{1!}$

På tilsvarende måte finner vi det polynomet av grad n som passer best. Det er

$P_{n} (x) = f (0) + \frac{f^{'} (0)}{1!}$

Dette er taylorpolynomet til f om $x = 0.$ Navnet kommer fra den engelske matematikeren Brokk Taylor (1685–1731).

Taylorrekke

Tilpasningen av $P_{n} (x)$ til $f (x)$ blir bedre desto høyre graden n er. Når vi lar $n \to \infty$ , får vi taylorrekka til f.

$f (0) + \frac{f^{'} (0)}{1!}$

For noen funksjoner vil denne rekka konvergere og ha summen $f (x)$ for alle $x \in R .$ For andre funksjoner konvergerer den når $x \in ⟨ - a, a ⟩$ for et eller annet tall a. Det fins også funksjoner der rekka bare konvergerer når $x = 0.$ Hvordan ser rekka ut da?

Ovenfor har vi funnet en tredjegradsfunksjon $P_{3} (x)$ som passer godt til $f (x) = e^{x}$ når $x \in [- 1, 1] .$

Prosjektoppgave 1

La $f (x) = e^{x} .$

Finn taylorpolynomene til f opp til og med grad 5.
Tegn grafene til taylorpolynomene i oppgave a sammen med grafen til f og vurder tilpasningen.
Skriv opp taylorrekka til f.
Bruk Taylorpolynomet av $grad$ til å bestemme en verdi for eulertallet e.

Prosjektoppgave 2

La $f (x) = e^{2 x} .$

Finn de fem første leddene i taylorrekka til f.
Hvordan kunne dere ha funnet disse leddene ved hjelp av rekka i prosjektoppgave 1.

Prosjektoppgave 3

La $f (x) = \frac{1}{1 - x}$

Finn de fem første leddene i taylorrekka til f.
Hvilken rekke er dette, tror dere?
For hvilke x konvergerer rekka?

Repetisjonsoppgaver

Oppgave 1

I en tallfølge er det første tallet 6 og det tredje tallet 216.
Hva er det andre tallet om tallfølgen er aritmetisk, og hva er det andre tallet dersom tallfølgen er geometrisk?

Oppgave 2

En veterinær skal behandle en syk hund. Første dag får hunden 5 g av en viss medisin.
Dosen halveres for hver dag. Behandlingen varer ei uke.
Hvor mye medisin bør veterinæren skrive ut resept på?

Oppgave 3

En ny bedrift produserer radioer. Den første måneden, januar 2021, er månedsproduksjonen 580 radioer. Bedriften regner med å øke produksjonen med 30 radioer for hver måned.

Lag et program i Python som skriver ut hvor mange radioer det ble produsert hver måned i 2021.
Utvid programmet i oppgave a slik at det også regner ut hvor mange radioer det ble solgt i alt i 2021.
Regn ut hvor mange radioer de lager i desember måned 2026.
Hvor mange radioer regner bedriften med å produsere i hele 2026?
Finn en formel for den totale produksjonen $s_{n}$ etter $n$
Når har bedriften i alt produsert 10 000 radioer?

Oppgave 4

En uendelig geometrisk rekke $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + . . .$ konvergerer mot 12.
Summen av de fire første leddene er $\frac{320}{27}$ Bestem $a_{3} .$

Oppgave 5

Et reinsdyr beiter i et område hvor gresset inneholder det radioaktive stoffet cesium-137. Et reinsdyr som beiter i området, får i seg $2, 50 \cdot 10^{- 13}$ av det radioaktive stoffet per kilogram hver dag. Gjennom biologiske prosesser kvitter reinsdyret seg daglig med 3,5 % av det radioaktive stoffet.

Hvor mye radioaktivt stoff er det i hvert kilogram av reinsdyret etter $14$ med beiting i området?
Hva er den største mengden radioaktivt stoff per kilogram reinsdyret kan få i kroppen etter lang tid med beiting i området?
For at reinsdyrkjøttet skal kunne spises, må ikke den radioaktive cesiummengden per kilogram overstige $5, 0 \cdot 10^{- 12}$
Hva er den største mengden radioaktivt stoff per kilogram reinsdyret kan få i seg hver dag for at kjøttet skal kunne spises?
Et reinsdyr har i seg $7, 14 \cdot 10^{- 12}$ cesium-137 per kilogram.
Vi tenker oss at reinsdyret blir flyttet til et beiteområde som er fritt for radioaktivt stoff.
Hvor lang tid går det før kjøttet til dette reinsdyret kan spises?

Oppgave 6

I en geometrisk rekke er det andre leddet $\frac{4}{3}$ og det tredje leddet $\frac{8}{9}$
1. Finn kvotienten k til rekka.
2. Hvilket nummer har leddet $\frac{256}{2187}$ i rekka?
3. Forklar at rekka konvergerer, og finn summen.
En funksjon f er gitt ved

$f (x) = 1 - \frac{x}{3}$
1. Finn definisjonsmengden $D_{f}$ til f.
2. Finn et enklere uttrykk for f.
3. Tegn digitalt grafen til f.

Oppgave 7

Da Sofia ble født, ble det opprette en spareavtale. Hver måned ble det satt inn 500 kr på en konto med en fast månedlig rentefot på 0,10 %.

Hvor mye var det på kontoen da Sofia fylte 5 år? Gå ut fra at det også ble satt inn 500 kr på 5-årsdagen.
Hvor mye har Sofia fått i rente?
Hvor stor måtte den månedlige rentefoten være for at Sofia skulle hatt 35 000 kr på kontoen på 5-årsdagen? Gå fortsatt ut fra at det ble satt inn 500 kr på 5 års-dagen.
Hvor stort beløp måtte det settes inn hver måned for at skulle være 35 000 kr på kontoen da Sofia fylte 5 år? Gå fortsatt ut fra at det ble satt inn et beløp på 5 års-dagen.

Oppgave 8

Bevis formelen ved induksjon.

$1 + 4 + 7 + \dots + (3 n - 2) = \frac{n (3 n - 1)}{2}$

Oppgave 9

Norges utslipp av klimagasser var i 2020 på 49,3 millioner tonn CO2-ekvivalenter. På nettsiden www.regjeringen.no stod det:

Norge har som mål å redusere utslippet av klimagasser med 50 til 55 prosent innen 2030.

Kilde: Klimaendringer og norsk klimapolitikk - regjeringen.no (19.10.2021)

Gå ut fra at målsettingen er å redusere utslippet med 50 % sammenliknet med utslippet i 2020. Vi skal vurdere to modeller for hvordan dette kan gjennomføres:

Modell 1: Forbruket reduseres med et fast antall tonn CO2-ekvivalenter hvert år. Det betyr at vi det første året slipper ut 49,3 millioner, mens vi det tiende året slipper ut halvparten så mye.

Modell 2: De reduserer forbruket med en fast årlig prosent, slik at de det første året slipper ut 49,3 millioner tonn CO2-ekvivalenter, mens vi det tiende året slipper ut halvparten så mye..

Hvor stort er Norges samlede utslipp av klimagasser i løpet av disse 10 årene dersom vi legger modell 1 til grunn?
Hvor stort er Norges samlede utslipp av klimagasser i løpet av disse 10 årene dersom vi legger modell 2 til grunn?
Anta at myndighetene har som målsetting at det samlede utslippet ikke skal overstige 350 millioner tonn CO2-ekvivalenter. Utslippet skal hvert år i tiårsperioden reduseres med en fast prosent. Bestem den laveste verdien som gjør at myndighetene når målsettingen.

1.1 Tallfølger

Utforsk summen av hele tall

Utforsk aritmetiske rekker

Utforsk geometriske følger

1.8 Geometriske rekker med variable kvotienterSide 43

Eksempel

Løsning

Oppgave 1.80

Oppgave 1.81

Oppgave 1.82Side 46

Oppgave 1.83

1.9 Induksjonsbevis

Eksempel

Løsning

Krav 1:

Krav 2:

Løsning

Krav 1

Krav 2

Oppgave 1.90

Oppgave 1.91Side 49

Oppgave 1.92

Oppgave 1.93

Oppgave 1.94

Oppgave 1.95